Oleh : Endah Puji L.

Turunan : Persamaan Garis Singgung Kurva

Dalam materi turunan terdapat sub bab mengenai Persamaan Garis Singgung suatu Kurva,lho… mari kita kupas materinya beserta latihan soal persamaan garis singgung kurva,yuks…

Hayooooooo…
Masih ingatkah kalian tentang persamaan garis lurus di tingkat SMP ???!!
Materi itu berkaitan erat dengan materi yang akan kita bahas sekarang ini.
Nah, sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus .

Gradien Garis disimbolkan dengan “m” dimana :

* gradien pada persamaan garis $y={\color{Red} m}x+c$ adalah m

* gradien pada persamaan garis ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ adalah ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$

* gradien jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) adalah ${\color{Red} m}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Gradien dua garis lurus

* yang saling sejajar maka $m_1=m_2$

* yang saling tegak lurus $m_1.m_2=-1$

Persamaan Garis Lurus

* Jika diketahui satu titik (x₁,y₁) dan gradien m, maka persamaan garisnya :

$y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$

* Jika diketahui dua titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka persamaan garisnya :

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi ${\color{DarkGreen} y=f(x)}$

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a, f(a)) adalah

${\color{Red} m}=f'(a)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalah $y-y_1={\color{Red} m}(x-x_1)$ , sehingga
Persamaan Garis Singgung di titik (a, f(a)) pada kurva adalah

${\color{Red} y-f(a)=f'(a)(x-a)}$

ayooo langsung kita praktikkan…

Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik ( -1 , 1) !
Jawab :
* cari m dulu di x = -1
$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-1)\\ & = & - 2\end{array}$

* maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m = -2 di ( -1 , 1) adalah
$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-1 & = & -2(x-(-1))\\y-1 & = & -2x-2\\y & = & - 2x-1\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva $y=x^2$ di titik yang berabsis (-2) !
Jawab :
* cari m dulu di absis x = -2
$\begin{array}{rcl}m & = & f'(-2)\\ & = & 2x\\m & = & 2(-2)\\ & = & - 4\end{array}$

* Bandingkan dengan soal no.1, disini kita belum punya y₁ sehingga kita cari terlebih dulu
$\begin{array}{rcl}y & = & x^2\\ & = & (-2)^2\\y_1 & = & 4\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -4 di ( -2 , 4) adalah
$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-4 & = & -4(x-(-2))\\y-4 & = & -4x-8\\y & = & - 4x-4\end{array}$
Tentukan persamaan garis singgung kurva    $y=2x^2-3x$ yang sejajar garis   y = x !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus y = x
ingat    $y={\color{Red} m}x+c$
maka m = 1 , diketerangan soal, garis saling sejajar, maka m₁= m₂= 1

* cari titik singgungnya (x₁,y₁)
ingat $m=f'(a)$ maka
$\begin{array}{rcl}m & = & f'(a)\\1 & = & 4x-3\\4x & = & 4\\x & = & 1 \end{array}$

x₁ = 1 maka kita cari y₁ dengan mensubtitusi x =1 ke    $y=2x^2-3x$
$\begin{array}{rcl}y & = & 2x^2-3x\\& = & 2(1)^2-3(1)\\y & = & -1\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = 1 di ( 1 , -1) adalah
$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-(-1)& = & 1(x-1)\\y+1 & = & x-1\\y & = & x-2\end{array}$
Tentukan Persamaan garis singgung pada kurva    $y=-2x^2+6x+7$ yang terletak tegak lurus garis x – 2y +13 = 0 !
Jawab :
* cari gradien m dari persamaan garis lurus x – 2y +13 = 0
ingat    ${\color{Green} a}x+{\color{Blue} b}y=c$ maka    ${\color{Red} m}=-\frac{{\color{Green} a}}{{\color{Blue} b}}$
untuk x – 2y +13 = 0 maka ${\color{Red} m}=-\frac{1}{(-2)}=\frac 12$

keterangan soal garis saling tegak lurus, maka m_{1 .}m₂= – 1
$\begin{align*}m_1.m_2 & = & -1\\\left ( \frac{1}{2} \right ) .m_2 & = & -1\\m_2 & = & (-1).\left ( \frac 21 \right )\\m_2 & = & -2\end{align*}$

* cari titik singgungnya (x₁,y₁) dengan m = -2
ingat $m=f'(a)$ maka
$\begin{align*}m & = & f'(a)\\-2 & = & -4x+6\\-4x & = & -2-6\\x & = & 2\end{align*}$

x₁ = 2 maka kita cari y₁dengan mensubtitusi x = 2 ke    $y=-2x^2+6x+7$
$\begin{array}{rcl}y & = & -2x^2+6x+7\\ & = & -2(2)^2+6(2)+7\\y & = & 11\end{array}$

* maka persamaan garis singgung kurva dengan gradien m = -2 di titik ( 2 , 11) adalah
$\begin{array}{rcl}y-y_1 & = & m(x-x_1)\\y-11 & = & -2(x-2)\\y-11 & = & -2x+4\\y & = & -2x+15\\ & atau & \\ 2x+y-15 & = & 0\end{array}$

Warung Matematika, SMP N 5 PATI

link matematika

Selasa, 14 Februari 2012

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG

Oleh : Endah Puji L.

Turunan : Persamaan Garis Singgung Kurva

Tidak ada komentar:

Posting Komentar